Teoría de la inspección óptima

Sea una empresa que debe cumplir una determinada normativa V. Cumplirla le supone un coste f·C, siendo C su cifra de negocios (facturación) en las unidades monetarias del país donde está radicada, y f un número adimensional entre 0 y 1, en principio de un valor pequeño, como 0,01 o 0,02. Asimismo, incumplirla supone un daño social d·C, siendo d un número adimensional entre 0 y 1.

Si la incumple, la empresa añadirá f·C a sus beneficios, pero, si es inspeccionada, se arriesga a una multa m·C, siendo m un número adimensional mayor que 0. La probabilidad de que la empresa sea inspeccionada en un año natural es p. Ese año natural también es el año del ejercicio económico. En el país hay E empresas sujetas a la normativa V, y S inspectores de dicha normativa. Estos inspectores trabajan 47 semanas al año, 40 horas por semana. Determinar si una empresa cumple la normativa lleva h·C horas1, siendo h un número positivo de dimensión horas/unidad monetaria (que en este artículo se simbolizará con €, sin que eso restrinja la ubicación geográfica de la empresa) y con un valor de algunas millonésimas. Por ejemplo una empresa que facture 100 millones de € se inspeccionará en 20 horas.
Cada inspector cuesta al Estado 40 000 € al año, siendo esta cantidad el salario bruto del inspector más las cotizaciones a la Seguridad Social menos lo que el inspector paga por IRPF.
La distribución de la cifra de negocios de las E empresas es exponencial: hay muchas que tienen una cifra de negocios de 1 M€, pocas de 10 M€, y la mayor factura 900 M€, distanciándose considerablemente de la segunda, que solo factura 500 M€. La facturación media Cm es 20 M€.
La infracción de la normativa prescribe en un plazo P, que de momento, para hacer los cálculos que responderán a las preguntas que se van a plantear, se fija en 5 años. El inspector es capaz de averiguar, si hay incumplimiento, el momento en que se ha producido. Por ejemplo, inspecciona la empresa en un año a. Halla que, en ese momento, la empresa está cumpliendo la normativa, pero en el año a-3 la incumplía. Puede entonces poner la multa m·C. La multa es igual tanto si en el momento de la inspección la empresa está cumpliendo la normativa como si la incumplió en un pasado dentro de este plazo de prescripción, y siempre se aplica sobre la facturación del año en que se incumplió que, como se ha dicho, no tiene por qué coincidir con el año de inspección.
Un programa informático sortea de manera perfecta las empresas que se van a inspeccionar. Todas las empresas entran en el sorteo cada vez. Es decir, que una empresa haya sido inspeccionada no la libra de entrar en el siguiente sorteo.
Para simplificar se supone que no hay inflación, que tanto los sueldos de los inspectores como las facturaciones de las empresas son constantes, y que no varía el número de empresas. Aunque por supuesto las sanciones pueden ser recurridas, los tribunales siempre dan la razón al Estado, y al final, se pagan2.
Preguntas:
  1. Suponiendo que el número de empresas E es 100 000, el número S de inspectores es 10, f = 0,01 y m = 0,03 ¿cuál es el riesgo para una empresa de incumplir la normativa?
  2. En la situación anterior ¿mantener la inspección supone para el Estado un ingreso o un gasto? ¿Y si se tiene en cuenta que el daño social por el incumplimiento d = 0,02?
Solución: en el período de prescripción P (5 años) se realizan 5 · 47 · 40 · 10 = 94 000 horas de inspección. Inspeccionar a la empresa media lleva 4 horas (si una empresa que facture 100 M€ se inspecciona en 20 horas, una que facture 20 M€ (Cm) se examina en la quinta parte de tiempo. Se habrán realizado, por tanto, 23 500 inspecciones. La probabilidad de que, en 5 años, una empresa sea inspeccionada es 23 500/100 000 = 0,235. Si incumple, el gasto esperable es 0,235 · m · C = 0,00705 · C. Mientras que si cumple, el gasto, en ese período de 5 años, es de 5 · f · C = 0,05 · C. Por tanto, con los parámetros fijados en estos valores, a la empresa le sale rentable incumplir la normativa.
Cabe esperar, por tanto, un grado de incumplimiento alto. Supongamos que es el 90 %. En esta situación lo recaudado por multas es 0,9 · 23 500 · m · Cm = 12 690 M€ cada 5 años. Si en esos años se han pagado a los inspectores 5 · S · 40 000 = 2 M€ parece que la situación sale al Estado muy rentable. Ahora bien, si tenemos en cuenta el daño social, la pérdida para el Estado es de esos 2 M€ + 0,9 · E · d · 5· Cm = 182 000 M€ cada 5 años. Queda claro así que es una ruina.
Obviamente este daño social dependerá de la normativa que se incumpla. Si es una normativa recaudatoria, el Estado perderá esa recaudación, y, si no está sujeto a restricciones de déficit, deberá compensarla con emisiones de deuda (a un interés cuantificable, que será el daño). Si, en cambio está sujeto a restricciones, calcular el daño se vuelve más difícil, pero siempre se puede hacer una estimación razonable. En otro orden de cosas, si el incumplimiento es no pagar las cotizaciones a la Seguridad Social por todas las horas realmente trabajadas, el daño se puede cuantificar con la pensión media y los ingresos brutos que esos trabajadores, cuando se jubilaran, perderían respecto a si se hubieran hecho los pagos correctos.
Se han expuesto los parámetros que deben tenerse en cuenta para que, en una situación real, donde vendrán dados Cm, d, E, h y coste de los inspectores, el responsable político ajuste P, m y S para minimizar prudentemente el daño social, sin que eso suponga un gasto desproporcionado para el Estado en inspectores ni para el sector empresarial en multas. Se cree recomendable reducir la normativa al mínimo imprescindible y facilitar a las empresas su cumplimiento, automatizándolo todo lo posible, de modo que el personal de las empresas no tenga que realizar tareas adicionales. Un buen ejemplo es el sistema de Suministro Inmediato de Información (SII) del IVA. Por supuesto la normativa debe perseguir fines que tengan suficiente apoyo social y elaborarse con la máxima colaboración de las empresas.
1 Cuanto mayor es la cifra de negocios de la empresa, más horas lleva determinarlo. Para simplificar se ha puesto una relación lineal, pero es posible que la relación sea logarítmica, k+h·log(C).
2 Si se hacen los cálculos para un supuesto real, habrá que tener en cuenta las ratios ([número de multas no recurridas + veces que los tribunales dan la razón al Estado en las recurridas]/nº de multas impuestas) y (nº de multas que al final se consiguen cobrar/nº de multas impuestas).
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Mete "Lo que hay que hacer" en Google y mira qué te sale: enlaces a un libro "Lo que hay que hacer con urgencia" del que las primeras páginas no están disponibles para descargar. Y mientras, tu ciudad, tu país, tu planeta bullen de problemas a los que no se pone remedio adecuado, cuando existen soluciones para todos. Escribo este blog desde Madrid, España, la Tierra, para unir mi voz a los que proponen estas soluciones y presionan para que se apliquen.
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